MA005 - Fonctions usuelles, calcul différentiel et intégral

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MA005 - Fonctions usuelles, calcul différentiel et intégral

Objectifs

Objectif général :

Cet enseignement vise un double objectif de formation : donner les bases et outils mathématiques indispensables pour les autres disciplines scientifiques intervenant dans la formation et développer les compétences suivantes, propres aux mathématiques, mais transférables par ailleurs : mettre en œuvre une recherche de façon autonome; mener des raisonnements; avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus; communiquer à l’écrit et à l’oral.
L'objectif essentiel est de montrer l'apport significatif du calcul différentiel et intégral dans des problèmes faisant intervenir des fonctions, en particulier en terme d'approximation et d'encadrement. Le champ des fonctions de référence sera également élargi aux fonctions trigonométriques réciproques.

Objectifs détaillés :

Dérivation :
- Dresser le tableau de variation d'une fonction f , entre autres grâce au signe de sa dérivée.
L'exploiter pour obtenir un extremum, le signe de f, le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k.
- Connaître le développement limité au voisinage de 0 (on se limitera à l'ordre 3) des fonctions trigonométriques, puissances et exponentielle. Les théorèmes d'existence et la formule de Taylor sont hors programme, mais le résultat pourra être démontré pour la fonction exponentielle en utilisant le calcul intégral.
- Savoir obtenir, sur des exemples simples, des développements limités par addition ou multiplication ; pour la composition, des indications sur la méthode à suivre devront être fournies.
Les utiliser pour l'étude locale de fonctions.

Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances
- Connaître la définition, la dérivée et les limites aux bornes de ces fonctions de référence.
- Savoir étudier des fonctions construites à partir de ces dernières, sans excès de technicité, et se donner des moyens de contrôle à l'aide d'outils logiciels.

Fonctions circulaires :
- Connaître les dérivées, les variations et les représentations graphiques des fonctions circulaires directes et réciproques.
- Définir la fonction exponentielle complexe : l'étude de cette fonction permet de conforter les acquis sur les fonctions trigonométriques et fournit un exemple de fonction de la variable réelle à valeurs dans un espace de dimension deux.

Primitives et intégrales
- Savoir que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, le problème de l'existence n'étant pas soulevé. Connaître les primitives des fonctions usuelles et savoir déterminer une primitive d'une fonction de la forme f'(ax +b) , u'uu, u'un où n entier différent de -1, u'/u où u est à valeurs strictement positives.
- Définir l'intégrale d'une fonction f entre a et b par int(a,b) f ( x) dx= F (b) − F (a) , où F est une primitive de f sur un intervalle I contenant a et b, savoir que la fonction x → int(x, a) f(t) dt est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a.
- Connaître les propriétés de l'intégrale : relation de Chasles, linéarité, compatibilité avec la relation d'ordre, inégalité de la moyenne.
- Calculer des aires, volumes et valeurs moyennes à l'aide d'une intégrale.

Méthodes de calcul d'une intégrale
- Utiliser une primitive ou une intégration par parties pour calculer une intégrale.
- Effectuer un changement de variable dans une intégrale : cette notion sera interprétée graphiquement dans le cas d'un changement de variable affine, puis présentée sans justification théorique dans d'autres cas.
- Calculer l'intégrale de certaines fonctions trigonométriques utiles dans d'autres disciplines.
- Mettre en œuvre un algorithme d'approximation du calcul d'une intégrale.



Volume horaire (h)

  • Cours magistraux : 26
  • Travaux pratiques : 12

Examens

Nombre total d'heures d’évaluation : 6

Ce cours fait partie de la formation

En bref

Crédits ECTS : Cf UE

Nombre d'heures 44

Contact(s)

Alexandre GONDRAN

Tél : +33 5 62 25 95 12

Email : alexandre.gondran @ enac.fr