MA010 - Mathématiques semestre 2

Objectifs

Objectif général :

Cet enseignement vise un double objectif de formation :
1) Donner les bases et outils mathématiques indispensables pour les autres disciplines scientifiques intervenant dans la formation du Cycle préparatoire l'ATPL
2) Développer les compétences suivantes, propres aux mathématiques, mais transférables par ailleurs : Mettre en œuvre une recherche de façon autonome; Mener des raisonnements; Avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus; communiquer à l’écrit et à l’oral;
Renforcer la maîtrise du calcul mental et de consolider les capacités en calcul algébrique.

Objectifs détaillés :

A l'issue du second semestre, l'élève sera capable de fournir de solides connaissances dans :

Analyse :
- Connaitre la définition d’une suite ainsi que les différentes manières de la représenter.
- Expliciter une suite récurrente (cas des suites arithmético-géométriques et des suites homographiques).
- Sens de variation, majoration-minoration, théorèmes de convergence (monotonie bornée, gendarmes, point fixe).
- Suites à récurrence double.
- Savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants ou variables, avec ou sans second membre (méthode de variation de la constante).
- Savoir résoudre une équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants, sans second membre ou avec un second membre permettant une identification (polynôme, exponentielles, fonctions sinus et cosinus).
- Connaitre la formule de Taylor-Young ainsi que ses conditions d’application en un point a.
- Savoir expliciter avec Taylor-Young le développement limité en a d’une fonction « suffisamment régulière » au voisinage de a.
- Connaitre les développements limités des fonctions usuelles en zéro, et à l’aide des règles opératoires sur les développements limités, calculer le DL d’une fonction en un point a, déterminer la limite d’une fonction à l’aide des DL.
- Calculer un DL en l’infini, en déduire le comportement asymptotique d’une fonction.
- Savoir factoriser un polynôme dans R ou C (décomposition en produit de facteurs premiers), connaitre les règles sur le degré d’un polynôme et la multiplicité de ses racines.
- Savoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples, dans R ou C.
- Savoir calculer des intégrales par diverses stratégies : intégration directe, intégration par parties, changement de variable, décomposition en éléments simples.

Géométrie dans l’espace :
- Définir le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace avec ou sans coordonnées, connaitre ses propriétés et ses applications au calcul d’aires et de volumes.
- Connaitre les formules du produit mixte et du double produit vectoriel et leurs applications.

Analyse et géométrie non linéaires : courbes paramétrées, coniques, fonctions de plusieurs variables :
- Repérer un point par ses coordonnées cartésiennes ou polaires dans R2, cartésiennes, cylindriques ou sphériques dans R3, passer d'un système de coordonnées à l'autre, effectuer un changement d'origine ou d'unité.
- Définir une courbe par une représentation paramétrique du type OM(t)=f (t), où f est une fonction de classe C1 à valeurs dans R2.
- Déterminer la tangente en un point régulier.
- Déterminer le rayon et le centre de courbure en un point, en se limitant à des points où les deux premiers vecteurs dérivés sont non colinéaires.
- Interpréter en cinématique une courbe paramétrée : mouvement d'un point mobile, trajectoire, vitesse, accélération.
- Définir une conique par foyer et directrice (parabole, hyperbole, ellipse),
- Donner la représentation paramétrique d'une conique,
- Définir les propriétés des tangentes : notion de dérivation vectorielle,
- Effectuer le changement de base (translation, rotation) permettant de se rapporter à une conique de référence.
- Définir l'ensemble de définition d'une fonction de deux variables,
- Donner quelques exemples de représentations graphiques (surfaces dans l'espace),
- Définir les notions de limites et de continuité,
- Calculer lorsqu'elles sont définies les dérivées partielles d'ordre un et deux de fonctions de deux variables, et introduire la notion de fonction de classe C^k,
- Calculer le développement limité d'ordre k en un point d'une fonction de classe C^k,
- Définir les points critiques d'une fonction, et déterminer les éventuels extrema locaux dans le cas C².

Place dans le cursus

Semestre 2

Volume horaire (h)

• Cours Magistraux : 88h

Examens

Nombre total d'heures d’évaluation : 17