MA3004 - Théorie de la mesure

Objectifs

Objectif général :

Depuis toujours, l'homme a cherché à mesurer, quantifier, que ce soit des aires, des volumes, ou encore depuis peu des probabilités.
La méthode d'exhaustion utilisée par les Grecs pour mesurer l'aire d'un cercle puis l'introduction du calcul différentiel et intégral par Newton et Leibniz au 17ième siècle ont permis de répondre en grande partie à ces besoins. Cependant, le besoin d'étendre ces outils à la mesure d'objets plus généraux (fonctions continues et dérivables par morceaux, somme de séries de Fourier) ont nécessité une formalisation de l'intégrale. Une première étape de ce processus est due à B. Riemann qui, au milieu du 19ième siècle, a défini l'intégrale qui porte son nom. Néanmoins celle-ci s'est révélée trop limitée pour prendre en compte des ensembles plus généraux, tels qu'obtenus par exemple suite à l'introduction de la topologie. Ceci a conduit E. Borel et H. Lebesgue à formaliser, au début du 20ième siècle, la théorie de la mesure et définir une nouvelle intégrale, appelée l'intégrale de Lebesgue. Cette intégrale est utilisée universellement en mathématique et en physique. L'introduction de la théorie de la mesure a également permis à A. Kolmogorov d'axiomatiser la théorie des probabilités en 1933, fournissant ainsi un cadre très puissant pour quantifier l'incertitude. La théorie des probabilités est ainsi devenu une théorie mathématique à part entière, dont l'essor dans tous
les domaines théoriques et pratiques ne cesse de s'amplifier.


L'objectif de ce cours est de présenter les concepts de la théorie de la mesure afin d'offrir un cadre permettant d'appréhender le formalisme moderne de la théorie des probabilités.

L'étudiant sera capable de décrire une probabilité vue comme une mesure, de comprendre l'espérance d'une variable aléatoire comme une intégrale au sens de Lebesgue, de résoudre des problèmes simples d'incertitude.

Objectifs détaillés :

A l'issue de ce cours, l'étudiant sera capable de :
- manipuler les indicatrices et les opérations logiques;
- définir une tribu;
- définir une mesure, une probabilité;
- définir une variable aléatoire;
- calculer une espérance.