MA3006 - Probabilités

Objectifs

Objectif général :

"Le nom seul de calcul des probabilités est un paradoxe : la probabilité, opposée à la certitude, c'est ce qu'on ne sait pas, et comment peut-on calculer ce que l'on ne connaît pas?", La Science et l'Hypothèse (1902), Henri Poincaré.

Le calcul des probabilités est né de l'étude des jeux de dés et de cartes et s'est imposé dans la plupart des sciences physiques et humaines. Jusqu'à la fin du XIXème siècle, les probabilités sont définies comme le rapport des cas "favorables" sur le nombre total de cas possibles. Dans ce cas, le calcul des probabilités se fait au moyen de calculs de dénombrement. Cependant, il est vite apparu que cette définition n'était pas satisfaisante, en particulier lorsque l'on considère un nombre infini d'événements ou des expériences portant sur des valeurs continues (variation de la température atmosphérique, analyse d'un signal bruité, analyse des erreurs). Le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre total de cas doit alors être remplacé par une certaine mesure de l'apparition d'un événement lié à l'expérience, ce qui nécessite d'utiliser les outils proposés par la théorie de la mesure et de l'intégration. Or, la solution complète du problème de l'intégration est obtenue par Lebesgue en 1901 par la construction de l'intégrale qui porte son nom. La voie était alors ouverte à l'axiomatisation des probabilités, qui fût réalisée par A.N. Kolmogorov en 1933. Celle-ci permit alors un développement rapide et considérable de ce qui est devenu la théorie des probabilités.

Ainsi, bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique rigoureuse qui nous permet de considérer un cadre plus général que celui des probabilités finies n'est que récente. En s'appuyant sur la théorie de la mesure et de l'intégration, elle permet aujourd'hui d'étudier des phénomènes aléatoires complexes et aussi divers que les processus de diffusion en physique, l'évolution des marchés financiers, la modélisation de signaux aléatoire (codage, compression, débruitage), la modélisation de champs de vent en météorologie et l'étude des défaillances des systèmes en fiabilité.
La théorie des probabilités est donc fortement liée à des domaines scientifiques très divers mais étroitement liés entre-eux tels les processus stochastiques, le traitement du signal, la statistique, les sondages, l'analyse des séries temporelles et l'optimisation.

L'objectif de ce cours est de présenter les outils probabilistes essentiels pour la plupart des disciplines de l'ingénieur.

A l'issue de ce cours, l'étudiant sera capable d'utiliser les notions mathématiques permettant de modéliser et d'analyser les phénomènes aléatoires nécessaires à la poursuite du cursus, notamment en processus stochastiques et en statistique décisionnelle.

Objectifs détaillés :

A l'issue du cours, l'étudiant sera capable de
- reconnaître et formaliser un modèle probabiliste à partir d'un problème concret;
- choisir et identifier les outils adéquats pour caractériser et étudier la loi de probabilités d'une variable aléatoire et plus généralement d'un vecteur aléatoire;
- caractériser l'indépendance de variables aléatoires;
- définir et manipuler les lois conditionnelles;
- calculer une espérance et une variance conditionnelle;
- manipuler les vecteurs aléatoires gaussiens;
- étudier les différents modes de convergence d'une suite de variables aléatoires;
- appliquer la loi des grands nombres et le théorème central limite aux suites de variables aléatoires indépendantes.