MA4007 - Processus stochastiques

Objectifs

Objectif général :

Bon nombre de phénomènes physiques se décrivent par l'évolution d'une ou de plusieurs grandeurs au cours du temps (la météo, le nombre d'avions dans un secteur aérien, une file d'attente, ...). A un instant donné, ces grandeurs présentent souvent un caractère imprévisible, aléatoire, et il est alors naturel de les représenter par une variable aléatoire. L'évolution du phénomène est alors décrite par l'ensemble des variables aléatoires modélisant le phénomène à chaque instant. Cet ensemble de variables aléatoires forme un processus stochastique.

Un des processus les plus célèbres est le mouvement brownien, qui représente le mouvement d'une particule dans un fluide, soumis uniquement aux interactions avec des particules plus petites. Ce phénomène observé dans un premier temps par Robert Brown en 1827, a ensuite été appliqué en finance par Louis Bachelier en 1901, puis a été décrit par Albert Einstein en 1905. Depuis, la théorie des processus s'est largement développé: processus gaussiens, processus stables, martingales, calcul stochastique,...

Les applications des processus stochastiques sont très nombreuses. Ceux-ci sont notamment utilisés par l'ingénieur pour la construction de modèles mathématiques de nombreux phénomènes. On peut citer, entre autres:
- La théorie économique et l'économétrie dont l'objectif est de rendre compte des mécanismes qui régissent les faits économiques (souvent aléatoires). La théorie de la prévision, qui regroupe l'ensemble des méthodes permettant de donner une estimation (probabiliste) de l'évolution d'une variable économique à partir de données sur ses valeurs passées, utilise les processus stochastiques. On parle dans ce cas de statistique des processus stochastiques.
- Les transports et le trafic, qu'il s'agisse de transport de personnes, de biens, ou de trafic dans les réseaux (téléphoniques, mobiles, Internet, ...).
- La fiabilité des systèmes ou d'un matériel, c'est-à-dire l'évolution dans le temps de ses défaillances.
- L'ingénierie financière, où les modèles financiers font intervenir des notions complexes de processus et de calcul stochastique.
- La théorie de l'information et du filtrage.
- Les sciences de l'environnement.

L'objectif de ce cours est de présenter les processus stochastiques les plus couramment utilisés en modélisation aléatoire (chaînes de Markov à temps discret et à temps continu, processus de Poisson).

A l'issue de ce cours, l'étudiant sera capable de décrire un processus stochastique, de choisir les méthodes adaptées à l'étude de ce processus et de faire des hypothèses sur les valeurs prises par lui.