MA4009 - Optimisation non linéaire

Objectifs

Objectif général :

« Le plus grand possible », « le plus petit possible » : depuis deux mille ans et plus l'histoire des sciences est riche en questions de cette nature, issues notamment de la géométrie, de l'optique ou de la mécanique. De la fondation de Carthage par la reine Didon, en passant par la loi dite de Snell-Descartes de réfraction de la lumière (1621, 1637), le problème des brachistochrones abordé par Galilée et résolu par Johann Bernoulli (1696), les exemples abondent où ce que nous appelons maintenant problèmes d'extremum, ou d'optimisation, sont à l’origine de progrès majeurs.

Après des siècles d'étude de ces problèmes par des procédés ad hoc, parfois très ingénieux, il a fallu attendre le XVIIème pour découvrir enfin des méthodes générales pour les résoudre : c'est la notion de dérivée, entrevue par Fermat dès 1629, puis le calcul différentiel créé par Leibniz et Newton dans le dernier quart du XVIIème siècle. Une cinquantaine d'années plus tard Euler (1736) puis Lagrange (1755) jetteront les bases du « calcul des variations ».

Le XIXème siècle voit arriver les premiers algorithmes d'optimisation et marque l'intérêt croissant des économistes pour l'optimisation ce qui accélère son développement. L'arrivée du l’informatique en XXème siècle stimule de son côté le domaine de la recherche algorithmique.

L'optimisation est aujourd'hui une discipline mature des mathématiques appliquées qui est au cœur de nombreux logiciels pour l’ingénieur, dans l’industrie ou les services. Permettant la conception et l'entretien de systèmes de plus en plus complexes et jouant un rôle clé dans le maintien de la compétitivité, elle fait partie du bagage essentiel à tout ingénieur.

Ce cours est une introduction aux fondements mathématiques et algorithmiques de l’optimisation différentiable en dimension finie.

A l'issue de ce cours, l'étudiant sera capable de manipuler les résultats mathématiques de base et les algorithmes les plus classiques et de les appliquer dans le contexte du transport aérien.

Objectifs détaillés :

A l'issue du cours, l'étudiant sera capable:
- reconnaître et formuler un problème d'optimisation, en particulier dans le domaine du transport aérien;
- identifier le type d'un problème d'optimisation (avec ou sans contraintes, linéaire, quadratique, convexe, …);
- caractériser des solutions d'un problème d'optimisation;
- choisir et utiliser un algorithme adéquat pour résoudre un problème d'optimisation.